Transformée de Laplace

De Dictionnaire geolien
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Souvent, les équations à dérivées partielles sont difficiles à résoudre dans l'espace normal. Il est alors nécessaire de passer dans un autre espace pour trouver leur solution. C'est le cas quand on utilise l'espace de Laplace, grâce à la transformée de Laplace.

Transformée de Laplace

La transformée de Laplace Tbar(p) d'une fonction T(t) est définie par l'intégrale:

                                Tbar(x, p) = int_0^∞(exp(-p * t) * T(x,t))dt

Où p est un nombre réel ou complexe.

Transformées usuelles de l'espace normal à l'espace de Laplace

                                                                  f(x, t)  <-->  fbar(x, p)
                                                  m * f(x,t) + n * g(x,t)  <-->  m * fbar(x, p) + n * gbar(x, p)
                                                                  dT / dt  <-->  p * Tbar - T(0)
                                                               dnT / dx^n  <-->  dnTbar / dx^n
                                                                        1  <-->  1 / p

En posant: u = x / (2 * sqrt(α * t)), et k^2 = p / α

                                                                   erfc(u) <-->  exp(-k * x) / p
                             2(α * t / π)^(0.5) * exp(-u^2) - x * erfc(u)  <-->  exp(-k * x) / (k * p)

(1/b) * (erfc(u) - exp(b * x + b^2 * α * t) * erfc(u + b * (α * t)^(0.5))) <--> exp(-k * x) / p * (k + b)

Application au transfert thermique

En appliquant la transformée de Laplace à l'équation unidimensionnelle de la chaleur, il vient l'équation, en posant T* = T - T0:

                              d2(Tbar*(x, p)) / dx^2 - (p / α) * Tbar*(x, p) = 0

On passe de dérivée partielle à une équation au dérivée totale, plus simple à résoudre.

Termes liés

Source

Cours de monsieur Michel A. Buès sur les Transferts Thermiques, année 2016-2017, université de Lorraine

25 août 2017 Modifié le 25 août 2017

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