Bilan thermique

De Dictionnaire geolien
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(Précision: ne sachant pas coder les intégrales, j ai choisi de les indiquer par le symbole int_)

On cherche à définir les équations du bilan thermique. Ainsi, considérons un domaine solide indéformable de volume V et de frontière S, orientée vers l'extérieur par une normale n. De plus, soient:

  • ρCp sa chaleur volumique
  • λ sa conductivité thermique
  • p le taux de chaleur volumique reçu par sources en W/m3

Expression initiale

D'après le théorème de l'énergie cinétique et le premier principe de la thermodynamique, il vient l'expression suivante:

                                         dU = Qext - Wint

Ou encore, en variation temporelle:

                                        dU / dt = Pth_ext - Pint

Où:

  • U est l'énergie interne
  • Qext est la quantité de chaleur échangée avec l'extérieur
  • Wint les travaux des forces intérieurs

Etude des divers parties

Le solide étant indéformable, il vient deux choses:

  • D'une part, Wint = 0, donc Pint = 0
  • D'autre part, seule la variation locale de la température intervient dans l'expression de dU/dt:
                                        dU / dt = int_V(ρCp(dT/dt))dV

Le taux de chaleur reçu Ph_ext peut avoir deux origines:

  • surfacique: puissance échangée sur la surface S: int_S(q*nint)dS

où nint = - n

  • volumique: int_V(p)dV

Equation du bilan thermique

Il ressort donc, pour un milieu rigide et immobile:

                               int_V(ρCp(dT/dt))dV = int_S(q*nint)dS + int_V(p)dV

Equation globale et locale de la conduction

D'après le théorème d'Ostrogradsky, il vient:

                 int_S(q*nint)dS = - int_S(q*n)dS = - int_V(div(q))dV = int_V(div(λ(T)grad(T)))dV

D'où l'équation globale de la conduction:

                             int_V(ρCp(dT/dt) - div(λ(T)grad(T)) - p)dV = 0

Etant vraie quelque soit le domaine, même infinitésimal, il vient l'équation locale:

                                  ρCp(dT/dt) - div(λ(T)grad(T)) - p = 0

Cas divers

Si λ uniforme et constant dans D, on peut trouver les différentes équations suivantes:

  • Milieu avec source / régime permanent: Equation de Poisson
                                      ΔT + p / λ = 0
  • Milieu sans source / régime permanent: Equation de Laplace
                                      ΔT = 0
  • Milieu sans source / régime variable: Equation de Fourier
                                      αΔT = dT/dt

Source

Cours de monsieur Michel A. Buès sur les Transferts Thermiques, année 2016-2017, université de Lorraine

24 août 2017 Modifié le 24 août 2017

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